積の合計と合計の積

積の合計（SOP）と合計の積（POS）を含むさまざまな形式の正規表現。 正規表現 として定義することができます ブール式 最小項または最大項のいずれかがあります。たとえば、2つの変数、つまりXとYがある場合、最小項で構成される正規式はXY + X'Y 'になりますが、最大項で構成される正規式は（X + Y）（X' + Y 'になります。 ）。この記事では、製品の合計と合計の製品の概要、SOPとPOSのタイプ、回路図設計、およびKマップについて説明します。

積の合計と合計の積

の概念 製品の合計（SOP） 主に、minterm、SOPのタイプ、Kマップ、およびSOPの回路図設計が含まれます。同様に、合計の積（POS）には主に 最大期間 、 の種類 合計の積 、k-mapおよびPOSの概略設計。

積の合計（SOP）とは何ですか？

積の合計の短縮形はSOPであり、これは一種の ブール代数 式。これでは、さまざまな製品入力が一緒に追加されています。入力の積はブール値です 論理積 一方、合計または加算はブール論理ORです。製品の合計の概念を理解する前に、mintermの概念を理解する必要があります。

ザ・ 最小期間 入力の最小の組み合わせが高い場合、出力は高くなると定義できます。これの最良の例はANDゲートであるため、最小項はANDゲート入力の組み合わせであると言えます。最小項の真理値表を以下に示します。

上記の表には、X、Y、Zの3つの入力があり、これらの入力の組み合わせは8です。すべての組み合わせには、mで指定された最小項があります。

製品の合計の種類（SOP）

ザ・ 製品の合計 で利用可能です 3つの異なる形式 これには以下が含まれます。

• 製品の正規合計
• 製品の非正規合計
• 製品の最小合計

1）。製品の正規合計

これはSOPの正規形であり、o / pが高いまたは真である関数の最小項をグループ化して形成でき、最小項の合計とも呼ばれます。正規SOPの式は、符号の合計（∑）で示され、括弧内の最小項は、出力がtrueの場合に使用されます。製品の正規和の真理値表を以下に示します。

上記の表の場合、 正規のSOPフォーム 次のように書くことができます F = ∑（m1、m2、m3、m5）
上記の合計を展開すると、次の関数が得られます。
F = m1 + m2 + m3 + m5
上記の式にmintermsを代入すると、次の式が得られます。
F = X’Y’Z + X’YZ ’+ X’YZ + XY’Z
正規形の積項には、補完された入力と補完されていない入力の両方が含まれます

2）。製品の非正規合計

製品形式の非標準的な合計では、製品用語が簡略化されています。たとえば、上記の正規式を見てみましょう。
F = X’Y’Z + X’YZ ’+ X’YZ + XY’Z
F = X’Y’Z + X’Y（Z ’+ Z）+ XY’Z
ここに Z ’+ Z = 1 （標準機能）
F = X’Y’Z + X’Y（1）+ XY’Z
F = X’Y’Z + X’Y + XY’Z
これはまだSOPの形式ですが、非正規の形式です

3）。製品の最小合計

これは、積の合計の最も単純化された表現であり、非正規のタイプでもあります。このタイプの缶は、ブール代数で簡略化されています 定理 それは単に使用することによって行われますが Kマップ（カルノー図） 。

この形式は、入力行の数と ゲートが使用されます これは最小限です。頑丈なサイズ、速いスピード、そして低い製造価格により、有益に役立ちます。

正規のフォーム関数と最小の関数の例を見てみましょう 製品の合計Kマップ です

SOPKマップ

K-mapに基づくこれの表現は

F = Y’Z + X’Y

積和の概略設計

積の合計の式は、2レベルのAND-OR設計を実行します。この設計には、ANDゲートのコレクションと1つのORゲートが必要です。積の合計の各式は、同様のデザインを持っています。

SOPの概略設計

入力の数とANDゲートの数は、実装する式によって異なります。 AND-ORゲートを使用した積と正規式の最小合計の設計を上に示します。

合計の積（POS）とは何ですか？

和の積の短縮形はPOSであり、ブール代数式の一種です。これは、入力の異なる合計の積が取られる形式であり、対応して論理ブールANDおよびORですが、算術結果および合計ではありません。和の積の概念を理解する前に、最大項の概念を知る必要があります。

maxtermは、入力の組み合わせの最大数に対して真である用語として定義できます。それ以外の場合は、単一の入力の組み合わせに対して偽です。 ORゲートは、1つの入力の組み合わせに対してもfalseを提供するためです。したがって、最大項は、補完されているか、補完されていない入力のORです。

上記の表には、X、Y、Zの3つの入力があり、これらの入力の組み合わせは8です。すべての組み合わせには、Mで指定された最大項があります。

最大項では、指定された組み合わせが適用され、最小項の補数が最大項である間、すべての入力は「0」のみを提供するため、補数されます。
M3 = m3 ’
（X’YZ） ’= M3
X + Y ’+ Z’ = M3（ドモルガンの法則）

合計の製品の種類（POS）

和の積は、次の3種類に分類されます。

• 合計の正規積
• 合計の非正規積
• 合計の最小積

1）。和の正準積

正規のPOSは、最大項の積としても名前が付けられます。これらは、o / pが低いか偽であるANDです。これは∏で表され、括弧内の最大項は出力がfalseの場合に使用されます。和の正準積の真理値表を以下に示します。

上記の表の場合、正規のPOSは次のように記述できます。 F = ∏（M0、M4、M6、M7）
上記の式を展開すると、次の関数が得られます。
F = M0、M4、M6、M7
上記の式に最大項を代入すると、次の式が得られます。
F =（X + Y + Z）（X ’+ Y + Z）（X’ + Y ’+ Z）（X’ + Y ’+ Z’）
正規形の積項には、補完された入力と補完されていない入力の両方が含まれます

2）。合計の非正規積

の表現 合計の積（POS） は正規形ではありませんが、非正規形と呼ばれます。たとえば、上記の式を見てみましょう
F =（X + Y + Z）（X ’+ Y + Z）（X’ + Y ’+ Z）（X’ + Y ’+ Z’）
F =（Y + Z）（X ’+ Y + Z）（X’ + Y ’+ Z’）
同様ですが、逆の用語は2つのMax用語から削除され、ここでそれを示すための用語のみがインスタンスです。
=（X + Y + Z）（X ’+ Y + Z）
= XX ’+ XY + XZ + X’Y + YY + YZ + X’Z + YZ + ZZ
= 0 + XY + XZ + X’Y + YY + YZ + X’Z + YZ + Z
= X（Y + Z）+ X '（Y + Z）+ Y（1 + Z）+ Z
=（Y + Z）（X + X ’）+ Y（1）+ Z
=（Y + Z）（0）+ Y + Z
= Y + Z
上記の最終的な式は、まだSumの積の形式ですが、非正規の形式です。

3）。合計の最小積

これは、合計の積の最も単純化された表現であり、非正規のタイプでもあります。このタイプの缶は、K-map（Karnaugh map）を使用して簡単に実行されますが、ブール代数定理を使用して簡略化されています。

この形式は、入力ラインとゲートの数が最小限であるために選択されています。頑丈なサイズ、速いスピード、そして低い製造価格により、有益に役立ちます。

正規形関数の例を見てみましょう。 和の積Kマップ です

POSKマップ

K-mapに基づくこれの表現は

F =（Y + Z）（X ’+ Y’）

和の積の概略設計

合計の積の式は、2つのレベルのOR-AND設計を実行します。この設計には、ORゲートのコレクションと1つのANDゲートが必要です。合計の積の各式は、同様の設計になっています。

POSの概略設計

入力の数とANDゲートの数は、実装する式によって異なります。 OR-ANDゲートを使用した積と正規式の最小合計の設計を上に示します。

したがって、これはすべてについてです 正準形式 ：積の合計と合計の積、回路図設計、Kマップなど。上記の情報から、ブール式は完全にmintermのいずれかで構成されていると結論付けることができます。それ以外の場合、maxtermは正規式として指定されます。ここにあなたへの質問があります、 正規表現の2つの形式は何ですか？