ナイキスト線図 : グラフ、安定性、問題例とその応用

ボード線図とナイキスト線図は、特に電気化学者の間で電気化学インピーダンス分光法または EIS データの場合に非常に人気のあるプロットです。ナイキストプロットは、スウェーデン系アメリカ人の「ハリー・ナイキスト」にちなんで名付けられました。彼は電気技師であり、1932 年に電子工学の目的でこのプロットを開発しました。EIS の間、多くの情報が収集され、この収集された情報を提示する必要があります。したがって、写真は百の言葉よりも多くの情報を提供します。そのため、ナイキスト プロットのようなグラフ表示を使用して、電気化学インピーダンス分光法を示します。この記事では、 ナイキスト線図 – 作業、長所と短所。

ナイキスト線図の定義

伝達関数に広く使用されているグラフ表示は、ナイキスト線図として知られています。これは、フィードバックの安定性を備えた制御システムを評価するために使用される周波数応答プロットです。これは、複素平面内の伝達関数の実数部分と虚数部分のパラメトリック プロットです。これは、周波数パラメーターが指定された間隔でスイープするためです。デカルト座標では、ナイキスト プロット伝達関数の実部が X 軸にプロットされ、伝達関数の虚部が Y 軸にプロットされます。

ナイキスト線図は、負帰還のあるループがナイキストの安定性原理を満たしているかどうかを誰でも即座に検証できるため、安定性を分析するための信号処理だけでなく、自動制御にも使用されます。のナイキスト線図が 開ループ制御システム は、等価閉ループ システムが不安定になった後、実軸上のほぼ点をカバーします。

ナイキスト線図

ナイキスト プロット グラフは、主に 閉ループ制御システム 'ω' を −∞ から ∞ に変更するだけで安定性が向上します。つまり、これらのプロットは、主に開ループ伝達関数の全周波数応答を描画するために使用されます。ナイキスト線図は、フィードバックを使用して制御システムの安定性を単純に評価します。したがって、デカルト座標系では、伝達関数の実数部は X 軸上に単純にプロットされ、虚部は Y 軸上に単純にプロットされます。
同様のナイキスト線図は極座標で簡単に説明できます。ここで、伝達関数のゲインは半径座標であり、伝達関数の位相は同等の角度座標です。

ナイキスト線図は、使用されている用語を理解することで理解できます。ナイキスト線図では、複素平面内の閉じたパスは等高線として知られています。

ナイキスト パス

ナイキスト パスまたはナイキスト輪郭は、s 平面の完全な右側を完全に囲む s 平面内の閉じた輪郭です。平面の合計 RHS を囲むために、「jω」軸に沿った直径とソースを中心とする大きな半円レーンが描かれます。半円の半径は、単純にナイキスト包囲として扱われます。

ナイキスト包囲

点が曲線内にある場合、その点は線で囲まれていることが知られています。

ナイキスト マッピング

s 平面内の点が F(s) 平面内の点に変更される手順は写像として知られ、F(s) は写像の関数として知られています。

フィードバック制御システムの安定性解析は、主に s 平面上の特性方程式の位置根の認識に依存します。

したがって、s 平面のルートが左面にある場合、制御システムは安定しています。したがって、システムの相対的な安定性は、ナイキスト線図、ボード線図、ニコルス線図などのさまざまな周波数応答手法によって決定できます。

ナイキスト安定性基準

ナイキスト安定性基準は、主に S 平面の特定の領域における特性方程式の根の存在を認識するために使用されます。 N = Z – P のようなナイキスト安定性基準は、単純にそれを示しています。 「N」は原点に関する包囲の総数、「P」は極の数、「Z」はゼロの総数です。

ケース 1: N = 0 (包囲なし) の場合、Z = P = 0 & Z = P.

N = 0 の場合、システムが安定するように P を「0」にする必要があります。

ケース 2: N が 0 より大きい場合 (時計回りの囲み)、したがって P = 0、Z ≠0 & Z > P

これら 2 つのケースでは、システムは不安定です。

ケース 3: N が 0 未満の場合 (反時計回りの包囲)、したがって Z = 0、P ≠0 & P > Z

したがって、システムは安定しています。

ナイキスト線図の描き方

以下で説明するように、ナイキスト プロットの描画には多くの手順が必要です。

• ステップ 1: 「s」平面内の G(s)H(s) のような開ループ伝達関数の極を確認する必要があります。
• ステップ 2: R が無限大になる半径「R」の半円を描くだけで、s 平面の右側全体を含めて、正しいナイキスト曲線を選択します。
• ステップ 3: アウトライン上のさまざまなセグメントをナイキスト パスの位置で認識します。
• ステップ 4: マッピング セグメントは、マッピング関数でそれぞれのセグメント式を単に代入することによって、セグメント全体で実行する必要があります。通常、特定のセグメントの極座標プロットを描画する必要があります。
• ステップ 5: 通常、セグメント マッピングは、正の虚軸の特定のパスに対するマッピングの反映イメージです。
• ステップ 6: 通常、平面の右半分を覆う半円形のレーンは、G(s) H(s) 平面内のポイントにマッピングされます。
• ステップ 7: さまざまなマッピング セグメントをすべて相互接続して、必要なナイキスト線図を作成します。
• ステップ 8: 番号に注意してください。 (-1, 0) についての時計回りの包囲の & N = Z – P を通じて安定性を決定します。

ナイキスト線図が描画されると、ナイキスト安定性基準を使用して閉ループ制御システムの安定性を検出できます。したがって、臨界点 (-1+j0) が包囲の外側にある場合、閉ループ制御システムは完全に安定しています。

開ループ伝達関数は G(S)H(S) = N(S)/D(S) です。

閉ループ伝達関数は G(S)/1+ G(S)H(S) です。

N(s) = ゼロは開ループ ゼロであり、D(s) は開ループ ポールです。

安定性の観点から、閉ループの極が s 平面の RH 面にある必要はありません。ゼロに等しい 1 + G(s) H(s) のような特性方程式は、閉ループ極を意味します。

1 + G(s) H(s) がゼロに等しい場合、q(s) はゼロでなければなりません。

したがって、安定性の観点から、q(s) のゼロは s 平面の右平面内にあってはなりません。
強度を説明するには、RHP 全体を考慮する必要があります。したがって、無限大になる傾向がある半円の半径「R」を考慮することにより、RHP 内のすべての点を含む半円を想像します。

ナイキスト線図による安定性解析

ナイキスト線図から、パラメーター値に応じて、制御システムが安定しているか、不安定であるか、わずかに安定しているかを認識できます。

• クロスオーバー周波数と位相クロスオーバー周波数を取得します。
• ゲイン余裕と位相余裕。

位相クロスオーバー周波数。

ナイキスト線図が負の実軸と交わる点の周波数を位相交差周波数と呼び、ωpc で表します。

ゲインクロスオーバー周波数

ナイキスト線図が 1 つの大きさを持つ点の周波数はゲイン交差周波数と呼ばれ、ωgc で表されます。

位相クロス オーバーやゲイン クロス オーバーなどの 2 つの周波数間の主な関係に基づく制御システムの安定性については、以下で説明します。

• ωpc が ωgc よりも高ければ、制御システムは安定しています。
• ωpc が ωgc と等しい場合、制御システムはわずかに安定しています。
• ωpc が ωgc に比べて小さい場合、制御システムは安定していません。

ゲインマージン

ゲイン余裕は、位相クロスオーバー周波数でのナイキスト線図の大きさの逆数に相当します。

ゲインマージン (GM) =1/Mpc

ここで、「Mpc」はωpcまたは位相クロスオーバー周波数での通常のスケール内の大きさです

位相マージン

位相マージンは、180 度と ωgc またはゲイン クロスオーバー周波数での位相角の合計に相当します。

PM = 1800 + φgc

ここで、ϕgc はゲイン クロスオーバー周波数 (ωgc) での位相角です。

制御システムの安定性は、以下に示すゲイン余裕と位相余裕のような 2 つの余裕の間の主な関係に依存します。

ゲイン余裕が 1 より大きく、位相余裕が正の場合、制御システムは安定しています。

ゲイン余裕が 1 度に等しく、位相余裕が「0」度の場合、制御システムはわずかに安定しています。

ゲイン余裕が 1 より低く、位相余裕が負の場合、制御システムは安定していません。

ナイキスト線図の例題

例1: ナイキスト線図が負の実軸を 0.6 の距離でカットする場合、システムのゲイン マージンはどれくらいですか?

システムのゲイン マージンは、閉ループ システムを不安定にする開ループ ゲイン内で必要な変更量として定義できることがわかっています。

ゲインマージンまたは GM = 1/|G| wpc

ここで、システムのゲインは |G| です。 wpc は位相クロスオーバー周波数です。

位相クロスオーバー周波数は次のように定義できます。システムゲインが「0」になる周波数。

Gm = 1/0.6 = 1.66

例2: ユニティ ゲイン負帰還システムの開ループ システム伝達関数は、G(s) = 1/S(S+1) として与えられます。 S プレーン内のナイキスト曲線には、次のグラフに示すように、右側面全体と左側の原点周辺の小さな領域が含まれます。いいえ。 G(S) ナイキスト プロットを通る (-1+ j0) 点の包囲の、「N」で示されるナイキスト等高線と同等、次に「N」と同等の?

いいえ。 (-1+ j0) 有意点の包囲の数は、N = P-Z で与えられます。

ここで、「N」は、この臨界点の反時計回りの包囲の数です。

「P」は、S プレーンの右側にある開ループ極の数です。

「Z」は、S プレーンの右側にある閉ループ極の数です。

安定性のための N = P Z = 0。

上記の式は、ナイキスト曲線が S プレーンの右側に定義され、極がソースで除外された場合にのみ有効です。曲線の回転は時計回りで、臨界点の包囲は反時計回りです。

G(s) = 1/S(S+1)。

開ループの極は S = 0,-1 に存在します。

閉ループの伝達関数 = 1/S^2+S+1

右辺上の閉じた極の数はゼロです。

しかし、ナイキスト等高線は、S プレーンの半分の側面全体に対して定義され、原点にも極が含まれます。

したがって、S=0 では、開ループ極は S 平面の右側にある極と見なされます。

N = P-Z =>1-0 =>1

長所と短所

の ナイキスト線図の利点 以下のものが含まれます。

• ナイキスト線図は、システムの安定性を判断するのに非常に役立つツールです。
• 単純に時間遅延を管理するため、Routh-Horwitz および根軌跡よりも多くの利点があります。
• しかし、ボード線図を利用して安定性を判断する方法が得られるため、非常に役立ちます。
• これを利用することで、制御系の安定性を判断することができます。
• 開ループ伝達関数は、その周波数応答を測定するだけでわかります。
• 根軌跡と比較して時間遅延の点で優れているため、ナイキスト線図はシステム内の時間遅延を簡単に管理できます。
• 開ループ伝達関数の周波数応答を見つけることができます。
• いいえを見つけます。 s 平面の右面で使用可能な極の数。
• システムの相対的な安定性を見つけます/

の ナイキスト線図の欠点 以下のものが含まれます。

• ナイキスト線図は、いくつかの難しい数学的手法を利用しています。
• システムの完全な強度を解決することはできません。
• s 平面の右面で使用可能な極に関する正確な情報は得られません。

ナイキスト線図の応用

ナイキスト線図の用途には、次のようなものがあります。

• ナイキスト線図は、周波数領域内のグラフィカルなプロセスを通じてシステムの安定性を確立するために使用されます。
• ナイキスト線図または周波数応答線図は、主に制御工学と信号処理で使用されます。
• これらは極座標プロットの拡張であり、閉ループ制御システムの安定性を見つけるために使用されます。
• これは、システムの安定性を判断する上で非常に便利なツールです。
• ナイキスト線図を使用すると、2 つの点 (–1, 0) と曲線が負の実軸と交差する点の間の距離を監視できます。

安定性を判断するためにナイキスト線図はどのように使用されますか?

安定性は、Nyquist Plot を使用して単に no を確認することで判断できます。点 (−1, 0) の包囲の数。システムが安定するさまざまなゲインは、実際の軸の交差を調べることで決定できます。このプロットは、伝達関数の形状に関するデータを提供します。

サンプリングのナイキスト基準とは?

ナイキスト基準では、サンプリング周波数が信号内に含まれる最大周波数の 2 倍以上である必要があります。サンプリング周波数がアナログ信号の最高周波数の 2 倍よりも低い場合、エイリアシングと呼ばれる現象が発生します。

ナイキスト線図には何が使用されますか?

Nyquist Plot には開ループ伝達関数が使用されます。

ナイキスト則とは？

ナイキストの法則は、周期信号を信号の最大周波数成分の 2 倍以上でサンプリングする必要があることを示しています。実際、利用できる時間は限られているため、サンプル レートは必要以上に高くなります。

ノイズレスのナイキスト ビット レート式とは?

ナイキストは、帯域幅「B」チャネルでは、毎秒最大 2B の直交信号を送信できるため、Rp ≤ 2B (「Rp」は脈拍数) であると単純に述べています。

ナイキスト線図は何を表していますか?

ナイキスト線図は、伝達関数の形式に関する情報を表します。たとえば、このプロットは、番号間の変動に関する情報を提供します。曲線が原点に到達する角度を通る伝達関数の極と零点。

したがって、これは ナイキスト線図の概要 – 長所、短所、およびそのアプリケーション。ナイキスト線図は、安定性、位相余裕、ゲイン余裕などの制御システムの特性を分析するために使用されます。 Matlab を使用したナイキスト線図 動的モデルによって生成された周波数応答に関連するナイキスト プロット グラフを作成するのに役立ちます。ここで質問があります。ボード線図とは何ですか?