調和振動子とは：ブロック図とそのタイプ

単振動は、1822年にフランスの数学者ジャンバプティストジョセフフーリエによって発明されました。エドウィンアームストロング（1890年12月18日から1954年2月1日）は実験で1992年に振動を観測し、アレクサンダーマイスナー（1883年9月14日から1958年1月3日）が発明しました。 オシレーター 1993年3月。ハーモニックという用語はラテン語です。この記事では、調和振動子の定義、タイプ、およびアプリケーションを含む概要について説明します。

調和振動子とは何ですか？

調和振動子は、力が平衡点から粒子に正比例し、正弦波形で出力を生成する運動として定義されます。高調波を発生させる力 モーション 数学的に次のように表すことができます

F = -Kx

どこ、

F =復元力

K =ばね定数

X =平衡からの距離

調和振動子のブロック図

調和運動にはシステムが振動する点があり、質量を開始点と同じ点に何度ももたらす力は復元力と呼ばれ、その点は平衡点または平均位置と呼ばれます。この発振器は、 線形調和振動子 。エネルギーはアクティブから流れます コンポーネント 発振器の受動部品に。

ブロック図

ザ・ 調和振動子のブロック図 で構成されています アンプ とフィードバックネットワーク。増幅器は信号を増幅するために使用され、増幅された信号はフィードバックネットワークを通過して出力を生成します。ここで、Viは入力電圧、Voは出力電圧、Vfはフィードバック電圧です。

例

春のミサ： ばねは質量を加速する復元力を提供し、復元力は次のように表されます。

F = ma

ここで、「m」は質量、aは加速度です。

春の質量

ばねは、質量（m）と力（F）で構成されます。力が点x = 0で質量を引っ張り、x –質量の位置のみに依存し、ばね定数が文字kで表される場合。

調和振動子の種類

この発振器の種類は主に次のものです。

強制調和振動子

システムの運動に外力を加えると、その運動は強制調和振動子と呼ばれます。

減衰調和振動子

このオシレーターは、システムに外力を加えると、オシレーターの動きが減少し、その動きが減衰調和運動と呼ばれるものとして定義されます。減衰調和振動子には3つのタイプがあります

減衰波形

減衰しすぎ

システムが平衡点に向かってゆっくりと移動するとき、それは過減衰調和振動子であると言われます。

減衰下

システムが平衡点に向かって急速に移動するとき、それは過減衰調和振動子であると言われます。

クリティカルダンピング

システムが平衡点を中心に振動することなく可能な限り速く動くとき、それは過減衰調和振動子であると言われます。

量子

これは、「ゲッティンゲン大学」のマックス・ボルン、ヴェルナー・ハイゼンベルク、ヴォルフガング・パウリによって発明されました。量子という言葉はラテン語であり、量子の意味は少量のエネルギーです。

ゼロポイントエネルギー

ゼロ点エネルギーは、基底状態エネルギーとしても知られています。これは、基底状態のエネルギーが常にゼロより大きい場合に定義され、この概念はドイツのMaxPlanckと1990年に開発された式によって発見されました。

減衰した単純な調和振動子方程式の平均エネルギー

エネルギーには、運動エネルギーと位置エネルギーの2種類があります。運動エネルギーと位置エネルギーの合計は、総エネルギーに等しくなります。

E = K + U………………。式（1）

ここで、E =総エネルギー

K =運動エネルギー

U =位置エネルギー

ここで、k = k = 1/2 mv^二…………eq（2）

U = 1/2 kx^二…………eq（3）

平均値の振動サイクル

振動サイクルあたりの運動エネルギーと位置エネルギーの平均値は、

どこ v^二= v^二（に^二-バツ^二）……。 eq（4）

eq（2）にeq（4）を代入すると、eq（3）は次のようになります。

k = 1/2 m [w^二（に^二-バツ^二）]

= 1/2 m [Aw cos（wt +ø₀）]^二……。 eq（5）

U = 1/2 kx^二

= 1/2 k [A sin（wt +ø₀）]^二……。 eq（6）

eq（1）にeq（5）とeq（6）を代入すると、合計エネルギー値が得られます

E = 1/2 m [w^二（に^二-バツ^二）] + 1/2 kx^二

= 1/2 m w^二-1/2 m w^二に^二+ 1/2 kx^二

= 1/2 m w^二に^二+1/2 x^二（K-mw^二）……。 eq（7）

どこ mw^二= K 、この値をeq（7）に代入します

E = 1/2 K A^二-1/2 Kx^二+ 1/2 x^二= 1/2 K A^二

総エネルギー （E）= 1/2 K A^二

1つの期間の平均エネルギーは次のように表されます。

に_平均= U_平均= 1/2（1/2 K A^二）

調和振動子の波動関数

ハミルトニアン演算子は、運動エネルギーと位置エネルギーの合計として表され、次のように表されます。

ђ（Q）= T + V……………….eq（1）

ここで、ђ=ハミトニアン演算子

T =運動エネルギー

V =位置エネルギー

波動関数を生成するには、シュレディンガー方程式を知る必要があり、方程式は次のように表されます。

-đ^二/2μ* d^二ѱ_υ（Q）/ dQ^二+ 1 / 2KQ^二ѱ_υ（Q）= E_υѱ_υ（Q）…………。 eq（2）

ここで、Q =法線座標の長さ

Μ=有効質量

K =力の定数

シュレディンガー方程式の境界条件は次のとおりです。

Ѱ（-∞）=ø

Ѱ（+∞）= 0

式（2）を次のように書くこともできます。

d^二ѱ_υ（Q）/ dQ^二+2μ/đ^二（E_υ-K / 2 * Q^二）ѱ_υ（Q）= 0…………eq（3）

方程式を解くために使用されるパラメータは

β=ђ/√μk………..eq（4）

d^二/ dQ^二= 1 /β^二d^二/ dx^二…………..eq（5）

式（3）に式（4）と式（5）を代入すると、この振動子の微分方程式は次のようになります。

d^二ѱ_υ（Q）/ dx^二+（2μb^二E_υ/đ^二- バツ^二）ѱ_υ（x）= 0………..eq（6）

べき級数の一般式は次のとおりです。

ΣC¬nx2…………。 eq（7）

指数関数は次のように表されます。

exp（-x^二/ 2）…………eq（8）

eq（7）にeq（8）を掛けます

ѱυ（x）=ΣC¬nx2exp（-x2 / 2）……………..eq（9）

エルミート多項式は、次の式を使用して得られます。

ђ_υ（x）=（-1）^υ* exp（x^二）d / dx^υ* exp（-x^二）……………..eq（10）

正規化定数は次のように表されます。

N_υ=（1/2^υυ！√Π）^1/2…………….eq（11）

ザ・ 単純な調和振動子ソリューション として表されます

Ѱ_υ（x）= N_υH_υ（および）e^{-x2 / 2}………………eq（12）

ここでN_υは正規化定数です

H _υ エルミートです

です ^{-x2 / 二}ガウス分布です

式（12）は調和振動子の波動関数です。

この表は、最低エネルギー状態の第1項エルミート多項式を示しています。

の波動関数 単純な調和振動子グラフ 以下の図に、4つの最低エネルギー状態の場合を示します。

調和振動子の波動関数

4つの最低エネルギー状態に対するこの発振器の確率密度を次の図に示します。

波形の確率密度

アプリケーション

s単純な調和振動子アプリケーションには主に次のものが含まれます

• オーディオおよびビデオシステム
• ラジオおよびその他の通信機器
• インバーター 、アラーム
• ブザー
• 装飾ライト

利点

ザ・ 調和振動子の利点 です

• 安いです
• 高周波発生
• 高効率
• 安いです
• ポータブル
• 経済的

例

この発振器の例には、次のものが含まれます。

• 楽器
• シンプルな振り子
• マススプリングシステム
• スイング
• 時計の針の動き
• 車、大型トラック、バスなどの車輪の動き

それは私たちが日常的に観察できる動きの一種です。ハーモニック オシレーター シュレディンガーを使用した波動関数と調和振動子の方程式が導き出されます。ここに質問があります、バンジージャンプによって実行されるモーションの種類は何ですか？