コンデンサインダクタの計算

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インダクタはコンデンサの反対と考えることができます。コンデンサとインダクタの主な違いは、コンデンサがプレート間に保護誘電体を運び、端子間の電流の伝導を抑制することです。ここでは、それは開回路のように機能します。

一方、インダクタのインダクタンスは通常(常にではありませんが)信じられないほど低いか最小の抵抗です。それは本質的に閉回路のように動作します。



コンデンサインダクタの二重性

回路の2つのパラメータまたは回路の一部の間のこのタイプの関係について、電子機器には固有の用語があります。このタイプのペアの要素は、 お互いのデュアル 。たとえば、電流を流す能力に応じて、開回路は閉回路の双対です。

同じ原理で、インダクタはコンデンサの双対です。インダクタとコンデンサの二重性は、電流を伝導するための自然な容量よりもはるかに深いものです。



この記事では、インダクタとコンデンサの動作原理を比較し、計算と式を使用して結果を評価します。

インダクタは通常、電子回路ではめったに見られないという事実にもかかわらず、今日ではほとんどがアクティブフィルタのオペアンプに置き換えられているため)、回路に含まれる他の部品はある程度のインダクタンスを持っているようです。

高周波回路では、コンデンサや抵抗器の端子の自己インダクタンスが大きな問題になります。これが、このようなアプリケーションで鉛レスの表面実装抵抗器やコンデンサが頻繁に使用される理由です。

基本的なコンデンサの式

コンデンサの基本的な方程式は、ファラッドを定義する方程式です。

C = Q / I [Eq.19]

ここで、Cはファラッド単位の静電容量、Qはクーロン単位の電荷、Uはボルト単位のプレート間のpdです。

式を介して。 19、Q =∫Idt+ cの形式の式を取得します。ここで、cは初期電荷です(使用可能な場合)。 Qを特定すると、式(1)からUを決定できます。 19:

U = 1 /C∫Idt+ c / C [Eq.21]

コンデンサの重要な特性は次のようになります。周期的な電流(通常は正弦波で振動する電流)が印加されると、コンデンサの電荷とその両端の電圧も正弦波的に変動します。

電荷または電圧曲線は負の余弦曲線であるか、または現在の曲線よりも遅れている正弦曲線として想像できます。 円周率 / 2操作(90°)。

インダクタンスの単位であるヘンリーを定義する基本方程式は次のとおりです。

L =NΦ/ I [Eq.22]

単一のコイルを参照すると、ヘンリーの自己インダクタンスは磁束の関係(磁束)である可能性があります<1) in weber multiplied by the number of winding N, (because the magnetic flux cuts through each turn), when a unit current passes through it (I = 1 A). An even more handy definition could be extracted from Eq. 22, using Neumann’s equation. This claims that:

U = N(dΦ/ dt) [Eq.23]

この方程式が示唆しているのは、e.m.f。インダクタ内に誘導されるのは、磁束のリンクされた変化率に関連しています。

フラックスの変化が速いほど、誘導起電力は高くなります。たとえば、インダクタまたはコイル上の磁束が2 mWbsの速度で上昇する場合-1、コイルの巻き数が25であると仮定すると、U = 25x2 = 50Vになります。

e.m.f.のパスレンツの法則で概説されているように、フラックスの変動に抵抗するようなものです。

この真実は、方程式の右辺の前にマイナス記号を付けることで指摘されることがよくありますが、Uが後ろのe.m.f.であると信じる限り、記号を削除することができます。

微分

式の項dΦ/ dt。 23は、フラックスの変化率として学んだことを示しています。この句は、tに関するΦの微分と呼ばれ、算術のブランチ全体がこの種の式の操作に専念しています。このフレーズは、単一の数値(dΦ)をもう1つの量(dt)で割った形になっています。

差分は、多数の比率のセットを関連付けるために使用されます。たとえば、dy / dxは、変数xとyを相互に関連付けます。横軸にxの値、縦軸にyの値を使用してグラフをプロットする場合、dy / dxは、グラフの傾きまたは勾配がどれほど急であるかを示します。

UがFETゲート-ソース間電圧であり、Tが関連するドレイン電流である場合、dI / dUは、Uの特定の変化に対してIが変化する量を示します。あるいは、dI / dUは相互コンダクタンスであると言えます。インダクタについて説明している間、dΦ/ dtは時間の経過に伴う磁束の変化率である可能性があります。

微分の計算は、積分の逆の手順と見なすことができます。この記事には、微分の理論を調べるのに十分な余地はありませんが、一般的に使用される量とその微分の表を定義します。

標準微分

上記の表は、ルーチンxとyの代わりにIとtを係数として使用することで機能します。そのため、その詳細は特に電子機器に関連しています。

例として、I = 3t +2と考えると、時間に対するIのずれ方を図38のグラフで視覚化できます。任意の時点でのIの変化率を見つけるために、dI / dtを次のように推定します。表を参照してください。

関数の最初の要素は3tです。または、テーブルの最初の行としてフォーマットするには、3tです。1。 n = 1の場合、差は3tです。1-1= 3t0

t以来0= 1、差は3です。

2番目の量は2で、2tとして表すことができます。0

これによりn = 0が変化し、差の大きさはゼロになります。定数の微分は常にゼロになります。これらの両方を組み合わせると、次のようになります。

dI / dt = 3

この図では、差分にtが含まれていません。つまり、差分は時間に依存していません。

簡単に言えば、図38の曲線の傾きまたは勾配は常に3です。下の図39は、別の関数I = 4 sin1.5tの曲線を示しています。

表を参照すると、この関数ではα= 1.5およびb = 0です。この表は、dl / dt = 4x1.5cos1.5t = 6cos1.5tを示しています。

これにより、Iの瞬間的な変化率がわかります。たとえば、t = 0.4の場合、dI / dt = 6cos0.6 = 4.95です。これは、図39で確認できます。ここでは、6 cos0.6tの曲線に、t = 0.4の場合の値4.95が含まれています。

また、t = 0.4の場合、曲線4sin1.5tの傾きは4.95であることがわかります。これは、その点での曲線の接線で示されています(2つの軸の異なるスケールに関して)。

t =π/ 3の場合、電流が最大で一定になるポイント。この場合、dI / dt = 6cos(1.5xπ/ 3):0であり、電流の変化がゼロに対応します。

逆に、t =2π/ 3で、電流が正から負に可能な限り高いレベルで切り替わる場合、dI / dt =6cosπ= -6の場合、負の値が最も高くなり、電流が大幅に減少します。

微分の単純な利点は、I = 4sin 1.5tと比較してはるかに複雑な関数の変化率を、曲線をプロットすることなく決定できることです。

計算に戻る

式22の項を再編成すると、次のようになります。

Φ=(L / N)I [Eq.24]

ここで、LとNの次元は一定ですが、ΦとIは時間に関して値を持つ場合があります。

方程式の両辺を時間で微分すると、次のようになります。

dΦ/ dt =(L / N)(dI / dt) [式。 25]

この方程式をEq.23とマージすると、次のようになります。

U = N(L / N)(dI / dt)= L(dI / dt) [Eq.26]

これは、を表現する別の方法です ヘンリー 。自己インダクタンスが1Hのコイル、電流の変化が1 Asであると言えます。-1バックe.m.fを生成します。電流が時間とともにどのように変化するかを定義する関数が与えられると、式(1)は次のようになります。 26は私たちを助けます バックe.m.fを計算します。 いつでもインダクタの。

以下はいくつかの例です。

A)I = 3(3 Aの定電流)dl / dt = 0。電流の変化を見つけることができないため、逆e.m.f.はゼロです。

B)I = 2t(ランプ電流)dI / dt = 2 A s-1。 L = 0.25 Hを運ぶコイルの場合、背面のe.m.f. 0.25x2 = 0.5Vで一定になります。

C)I = 4sin1.5t(前の図で与えられた正弦波電流dl / dt =6cos1.5t。L= 0.1 Hのコイルが与えられた場合、瞬時逆起電力は0.6cos1.5tです。逆起電力は微分曲線に従います。図39の、ただし振幅は6Aではなく0.6Vです。

「デュアル」を理解する

次の2つの式は、それぞれコンデンサとインダクタの式を表しています。

これは、特定の機能に従って時間とともに変化する電流によってコンポーネントの両端に生成される電圧のレベルを決定するのに役立ちます。

によって得られた結果を評価しましょう 差別化 Eq.21のL側とH側の時間。

dU / dt =(1 / C)I

微分は積分の逆であることがわかっているので、∫Idtの微分は積分を逆にし、結果としてIだけになります。

c / Cを微分するとゼロになり、項を並べ替えると次のようになります。

I = C.dU / dt [Eq.27]

これにより、特定の機能に応じて変化する電圧に応じて、電流がコンデンサに向かっているのか、コンデンサから出ているのかを知ることができます。

興味深いのは、上記のことです コンデンサ電流方程式 インダクタの電圧式(26)に似ており、 静電容量、インダクタンスの二重性。

同様に、電流と電位の差(pd)または電流とpdの変化率は、コンデンサとインダクタに適用するとデュアルになります。

さて、方程式quatretを完成させるために、時間に関してEq.26を積分しましょう。

∫Udt+ c = LI

dI / dtの積分は= Iであり、式を再配置して次のようにします。

I = 1 /L∫Udt+ e / L

これもEq.21と非常によく似ており、静電容量とインダクタンス、およびそれらのpdと電流の二重の性質をさらに証明しています。

これで、コンデンサとインダクタに関連する問題を解くために使用できる4つの方程式のセットができました。

たとえば、Eq.27を適用して、次のように問題を解決できます。

問題: 100uFに電圧パルスを印加すると、下の図に示すような曲線が生成されます。

これは、次の区分的関数を使用して定義できます。

コンデンサを流れる電流を計算し、対応するグラフをプロットします。

解決:

最初の段階では、Eq.27を適用します

I = C(dU / dt)= 0

Uが一定の割合で上昇している可能性がある2番目のインスタンスの場合:

I = C(dU / dt)= 3C =300μA

これは、一定の充電電流を示しています。

Uが指数関数的に低下する第3段階の場合:


これは、指数関数的に減少する速度でコンデンサから離れて流れる電流を示します。

位相関係

上の図では、交流pdがインダクタに適用されています。このpdは、いつでも次のように表すことができます。

ここで、Uoはpdのピーク値です。回路をループの形で分析し、キルヒホッフの電圧法則を時計回りに適用すると、次のようになります。

ただし、ここでは電流が正弦波であるため、括弧内の項の値はピーク電流Ioに等しくなければなりません。したがって、最終的に次のようになります。

Eq.29とEq.30を比較すると、電流Iと電圧Uの周波数は同じであり、IはUよりも遅れていることがわかります。 π/ 2。

結果の曲線は、次の図で調べることができます。

C

これは、コンデンサとインダクタの対照的な関係を示しています。インダクタの場合、電流は電位差をπ/ 2遅らせますが、コンデンサの場合、電流はpdよりも進みます。これもまた、2つのコンポーネントの二重の性質を示しています。




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